Question

某鎮(zhèn)地理環(huán)境偏僻，嚴重制約經(jīng)濟發(fā)展，豐富的花木產(chǎn)品只能在本地銷售.鎮(zhèn)政府對該花木產(chǎn)品每年固定投資x萬元，所獲利潤為萬元. 為了響應我國西部大開發(fā)的宏偉決策，鎮(zhèn)政府在制定經(jīng)濟發(fā)展的10年規(guī)劃時，擬定開發(fā)花木產(chǎn)品，而開發(fā)前后可用于該項目投資的專項資金每年最多50萬元.若開發(fā)該產(chǎn)品，在前5年中，必須每年從專項資金中拿出25萬元投資修通一條公路；后5年公路修通時，花木產(chǎn)品除在本地銷售外，還可運往外地銷售，運往外地銷售的花木產(chǎn)品，每年固定投資x萬元可獲利潤萬元.
（1）若不進行開發(fā)，求10年所獲利潤的最大值是多少？
（2）若按此規(guī)劃進行開發(fā)，求10年所獲利潤的最大值是多少？
（3）若按此規(guī)劃進行開發(fā)后，后5年所獲利潤共為2400萬元，那么當本地銷售投資金額大于外地銷售投資金額時，每年用于本地銷售投資的金額約為多少萬元？( ，計算結(jié)果保留1位小數(shù))

Answer 1

解：（1）由
                 即不開發(fā)此產(chǎn)品，每年可獲得最大利潤10萬元. 　　　　
             ∴不開發(fā)此產(chǎn)品，10年的最大利潤為W₁=10×10=100(萬元)；
（2）若對產(chǎn)品開發(fā)，前5年，由于每年必須從專項資金中拿出25萬元投資修公路. 　　　　　
       ∴可用資金只有50-25=25(萬元) 　　　　　 
         當x=25時，每年最大利潤
         ∴前5年的最大利潤W₂=9.5×5=47.5(萬元) 　　　　　
         設(shè)后5年中，a萬元用于本地銷售投資，則用于外地銷售投資金額為(50-a)萬元. 　　　　　
        后5年的利潤
                                  　=-5a²+200a+1500 
                                     =-5(a-20)²+3500
        ∵-5<0 ∴當a=20時，W3取得最大值為3500萬元. 　 　　　　
         ∴10年的最大利潤為W=W₂+W₃=47.5+3500=3547.5(萬元) ；
（3）令W₃=2400 則-5a+200a+1500=2400
        ∴a²-40a+180=a   
         a₁=20+2×7.415≈34.8          a₂=20-2×7.416 ≈5.2萬　　　　 
        　∵本地投資金額>外地投資金額
            ∴a=34.8 
            即每年用于本地銷售投資的金額約為34.8