Question

18．如圖，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A（-1，1），B（-3，1），BC⊥x軸于點C，動點P從點O出發(fā)，沿著x軸負方向以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PQ垂直于直線OA，垂足為點Q．設點P移動的方向為t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求拋物線的表達式；
（2）以PQ為一邊作正方形PQMN，且點N在點Q的左側．
①請直接寫出用含t的代數(shù)式表示點M，點N的坐標；
②是否存在t，使得正方形PQMN的頂點M或頂點N在拋物線上？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（3）若S=$\frac{9}{16}{k}^{2}$，其中k是不等式4k-3＜k+6的正整數(shù)解，請直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)正方形對角頂點的橫坐標的和相等，縱坐標的和相等，可得答案；
（3）①根據(jù)函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式，可得關于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
②分類討論：k=1時，根據(jù)三角形的面積公式，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；k=2時，根據(jù)相似三角形的性質，可得梯形的上底，根據(jù)梯形的面積公式，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將點A（-1，1），B（-3，1）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{9a-3b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x；
（2）①P（-2t，0），Q在PO的垂直平分線上，Q，（-t，t），
設M（-a，a），
QM=PQ=$\sqrt{2}$t，
（-a+t）²+（a-t）²=2t²，
解得a=-2t，即M（-2t，2t）；
PM的中點也是QN的中點，
N點的橫坐標-2t+（-2t）-（-t）=-3t，N點的縱坐標2t-t=t，
N（-3t，t），
M（-2t，2t），N（-3t，t），
②當點M在拋物線上時，
2t=-$\frac{1}{3}$（-2t）²-$\frac{4}{3}$（-2t）．
解得t=0（舍），t=$\frac{1}{2}$；
當點N在拋物線上時，
t=-$\frac{1}{3}$（-3t）²-$\frac{4}{3}$（-3t），
解得t=0（舍），或t=1，
∴t的值為$\frac{1}{2}$或1．
（3）由4k-3＜k+6，得
k=1或k=2，
當k=1時，如圖1：，
S=$\frac{9}{16}{k}^{2}$=$\frac{9}{16}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$t）²，
解得t=$\frac{3}{4}$，
當k=2時，S=$\frac{9}{16}{k}^{2}$=$\frac{9}{4}$，

如圖2，Q₂E⊥OP₂，
OP₂=2t，OE=Q₂E=t，Q₂F=t-1，
$\frac{FA}{OE}$=$\frac{{Q}_{2}F}{{Q}_{2}E}$，即FA=$\frac{（t-1）t}{t}$=t-1，
AD=2AF=2（t-1），
四邊形OAFP₂=$\frac{1}{2}$（2t-2+2t）×1=$\frac{9}{4}$，
解得t=$\frac{13}{8}$，
綜上所述：$\frac{3}{4}$或$\frac{13}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用正方形對角頂點的橫坐標的和相等，縱坐標的和相等是解題關鍵；（3）利用了三角形的面積公式，梯形的面積公式得出方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．