Question

5．已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點A（-1，0）和點B（4，0），與y軸相交于點C（0，-4）
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BC，在拋物線上是否存在點D，使得△ADC的面積與△ADB的面積比為1：3？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點A、B、C三點代入代入解析式解方程組即可．
（2）如由圖象可知點D在第四象限，作CM⊥AD，BN⊥AD垂足分別為M、N，AD與BC交于點H，作HE⊥OC，HF⊥OB垂足分別為E、F，根據(jù)CM：BN=1：3求出點H坐標(biāo)，求出直線AH，再通過方程組求出點D坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點A（-1，0）和點B（4，0），與y軸相交于點C（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-3x-4．
（2）如圖由圖象可知點D在第四象限，作CM⊥AD，BN⊥AD垂足分別為M、N，AD與BC交于點H，作HE⊥OC，HF⊥OB垂足分別為E、F．
∵S_△ACD：S_△ABD=1：3，
∴CM：BN=1：3，
∵CM∥BN，
∴CH：BH=CM：BN=1：3，
∵EH∥OC，
∴EH：OB=CH：CB=1：4，
∴EH=1，同理可以得到FH=3，
∴點H坐標(biāo)為（1，-3），
∴直線AH為y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y={x}^{2}-3x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，
∴點D的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$）．

點評 本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積公式，綜合性比較強，有難度，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．