Question

17．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，在線段AD上任取一點(diǎn)P（點(diǎn)A除外），過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，作PQ∥AC，交
AB于點(diǎn)Q，連接QE．
（1）求證：四邊形AEPQ為菱形；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半？

Answer 1

分析 （1）先證出四邊形AEPQ為平行四邊形，關(guān)鍵是找一組鄰邊相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可證∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出結(jié)論；
（2）S_菱形AEPQ=EP•h，S_{平行四邊形EFBQ}=EF•h，若菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半，則EP=$\frac{1}{2}$EF，因此P為EF中點(diǎn)時(shí)，S_菱形AEPQ=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFBQ}．

解答 （1）證明：∵EF∥AB，PQ∥AC，
∴四邊形AEPQ為平行四邊形，
∴∠BAD=∠EPA，
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，
∴四邊形AEPQ為菱形．
（2）解：P為EF中點(diǎn)，即AP=$\frac{2}{3}$AD時(shí)，S_菱形AEPQ=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFBQ}
∵四邊形AEPQ為菱形，
∴AD⊥EQ，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EQ∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四邊形EFBQ為平行四邊形．
作EN⊥AB于N，如圖所示：
則S_菱形AEPQ=EP•EN=$\frac{1}{2}$EF•EN=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFBQ}．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明四邊形是平行四邊形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．