Question

已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是過點(diǎn)A的一條直線，BD⊥l，CE⊥l，垂足分別為D、E．
（1）如圖①，求證：DE=BD+CE；
（2）若直線l繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)，其余條件不變，請(qǐng)把圖形補(bǔ)充完整，寫出BD、CE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出BD、CE與DE之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：證明：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD               
在△ABD和△CAE中，

∠ABD=∠CAE(已證) ∠ADB=∠CEA=90°(已證) AB=AC(已知)

，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；

（2）如圖②所示：
結(jié)論：DE=CE-BD．
理由：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠AEC=90°
∵∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，

∠ABD=∠CAE(已證) ∠ADB=∠CEA=90°(已證) AB=AC(已知)

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ABD≌△CAE是解題關(guān)鍵．