Question

18．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，兩位同學(xué)對(duì)拋物線在平面直角坐標(biāo)系中的平移進(jìn)行了研究，下面是他們的交流片段．
小聰：我畫了拋物線y=（x-a）²+$\frac{a}{3}$（a為常數(shù)），當(dāng)a=-1、a=0、a=1、a=2時(shí)二次函數(shù)的圖象；當(dāng)a取不同的值時(shí)，其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”．
小明：我發(fā)現(xiàn)這些拋物線的頂點(diǎn)竟然在同一條直線上．
問(wèn)題解決：
（1）試寫出小明發(fā)現(xiàn)的“拋物線系”的頂點(diǎn)所在直線的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，拋物線上有點(diǎn)P（2，m）．將此拋物線沿著（1）中的直線平移，記拋物線頂點(diǎn)O與點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O₁、P₁．若四邊形POO₁P₁是菱形，求平移后二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得相應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得O₁點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)菱形的鄰邊相等，可得O₁的坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)式函數(shù)解析式，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
當(dāng)a=1時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{3}$），
設(shè)頂點(diǎn)所在的直線為y=kx+b，
將（0，0），（1，$\frac{1}{3}$）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{k+b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
“拋物線系”的頂點(diǎn)所在直線的函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{1}{3}$x；
（2）如圖，
當(dāng)a=0時(shí)，拋物線的解析式為y=x²，頂點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0），
當(dāng)x=2時(shí)，m=2²=4，即P（2，4）．
平移后的解析式為y=（x-a）²+$\frac{a}{3}$（a為常數(shù)），頂點(diǎn)坐標(biāo)O₁（a，$\frac{a}{3}$）．
由四邊形POO₁P₁是菱形，得
OP=OO₁，即$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{a}{3}）^{2}}$，
化簡(jiǎn)，得a²=18，
解得a=3$\sqrt{2}$，或a=-3$\sqrt{2}$，
當(dāng)a=3$\sqrt{2}$時(shí)，平移后的解析式為y=（x-3$\sqrt{2}$）²+$\sqrt{2}$；
當(dāng)a=-3$\sqrt{2}$時(shí)，平移后的解析式為y=（x+3$\sqrt{2}$）²-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用特殊值法得出相應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用菱形的鄰邊相等得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．