Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上一點(diǎn)，且∠A=2∠DCB．E是BC邊上的一點(diǎn)，以EC為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．

（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若CD的弦心距為1，BE=EO，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）連接OD，先根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠DCB=∠ODC，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，即可得到∠A=∠DOB，由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，即可得到結(jié)論；（2）2

解析試題分析：（1）連接OD，先根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠DCB=∠ODC，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，即可得到∠A=∠DOB，由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，連接DE，根據(jù)垂徑定理可得CM=DM，又O為EC的中點(diǎn)，可得OM為△DCE的中位線，即可求得DE的長(zhǎng)，在Rt△OCM中，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得OC=2OM=2，Rt△BDO中，OE=BE，可得DE=BO，即得BO=BE+OE=2OE=4，在Rt△BDO中，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果．
（1）連接OD，

∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∠DOB為△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，連接DE

∵OM⊥CD，
∴CM=DM，又O為EC的中點(diǎn)，
∴OM為△DCE的中位線，且OM=1，
∴DE=2OM=2，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∵Rt△BDO中，OE=BE，
∴DE=BO，
∴BO=BE+OE=2OE=4，
∴OD=OE=2，
在Rt△BDO中，根據(jù)勾股定理得BD=2．
考點(diǎn)：圓的綜合題
點(diǎn)評(píng)：圓的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.