Question

設a，b，c都是正整數(shù)，關于x的方程ax²-bx+c=0有兩個小于1的不等正數(shù)根α，β．
（1）求證：α，β中一個小于，另一個大于；
（2）求出a的最小值．

Answer 1

（1）證明：由根與系數(shù)的關系得：α+β=，α•β=，
∵（α-）（β-）
=αβ-（α+β）+
=，
∵b²-4ac＞0，
∴4a＜，
又∵＜1，則4a＞ac，
∴b＞2c，則2（2c-b）＜0，
∵b，c都是正整數(shù)，
∴2（2c-b）為負偶數(shù)，
∴4c-2b+1＜0，
∴（α-）（β-）=＜0，
∴α，β中一個小于，另一個大于；
（2）解：∵0＜α＜1，
∴0＜1-α＜1，且α≠，
∴α（1-α）=-α²+α=-（α-）²+，
同理β（1-β）＜，
∴αβ（1-α）（1-β）＜，
∴根據(jù)韋達定理得，．
∵a是正整數(shù)，
∴a²＞16c（a-b+c），
∵當x=1時，ax²-bx+c=a-b+c＞0，a²是正整數(shù)的完全平方，
∴a²≥25，猜測a的最小值是5．
事實上，當a=5時，發(fā)現(xiàn)方程5x²-5x+1=0的根確是小于1的正數(shù)，因此可以判斷a的最小值等于5．
分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到α+β=，α•β=，則（α-）（β-）=，根據(jù)△的意義得b²-4ac＞0，即4a＜，又＜1，則4a＞ac，根據(jù)b，c都是正整數(shù)，即可得到2（2c-b）為負偶數(shù)，可得（α-）（β-）=＜0，即可得到結論；
（2）由0＜α＜1，得到α（1-α）=-α²+α=-（α-）²+，同理β（1-β）＜，則αβ（1-α）（1-β）＜，利用根與系數(shù)的關系得．即a²＞16c（a-b+c），當x=1時，ax²-bx+c=a-b+c＞0，a²是正整數(shù)的完全平方，a²≥25，猜測a的最小值是5．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了代數(shù)式的變形能力．