Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線經(jīng)過B，C兩點，與x軸的另一個交點為點A，動點P從點A出發(fā)沿AB以每秒3個單位長度的速度向點B運動，運動時間為（0＜＜5）秒.

（1）求拋物線的解析式及點A的坐標(biāo)；

（2）以O(shè)C為直徑的⊙O′與BC交于點M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O′相切？請說明理由.

（3）在點P從點A出發(fā)的同時，動點Q從點B出發(fā)沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運動，動點N從點C出發(fā)沿CA以每秒個單位長度的速度向點A運動，運動時間和點P相同.

①記△BPQ的面積為S，當(dāng)t為何值時，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ為直角三角形的情形，若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12.

∴C(0,9)，B(12,0)

又拋物線經(jīng)過B，C兩點，∴解得

∴

于是令y=0，得，解得x₁=-3，x₂=12. ∴A(-3,0). …………………………4分

（2）當(dāng)t=3秒時，PM與⊙O′相切.

連接OM.

∵OC是⊙O′的直徑，∴∠OMC=90°. ∴∠OMB=90°.

∵O′O是⊙O′的半徑，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切線.

而PM是⊙O′的切線，∴PM=PO. ∴∠POM=∠PMO.

又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM. ∴PM=PB.

∴PO=PB=OB=6. ∴PA=OA+PO=3+6=9.此時t=3（秒）.

∴當(dāng)t=3秒，PM與⊙O′相切. . …………………………………………………………………… 4分

（3）①過點Q作QD⊥OB于點D.

∵OC⊥OB，∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO. ∴=.

又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=

∴S_△BPQ=BP•QD= .即S=

S=.故當(dāng)時，S最大，最大值為