Question

8．如圖，在△ABC中，AQ是△ABC的角平分線，P是QA延長線上一點．若∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC，PB：PC=1：2，BQ=1，則CQ的長為4．

Answer 1

分析 根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠BAQ=∠CAQ=∠BPC，∠BAQ=∠BPQ+∠ABP，等量代換得到∠ABP=∠APC，同理∠ACP=∠APB，推出△PAB∽△CAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{PA}=\frac{AP}{AC}=\frac{PB}{PC}=\frac{1}{2}$，求得AB=$\frac{1}{2}$ PA，AC=2PA，于是得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}PA}{2PA}$=$\frac{1}{4}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵∠BAQ=∠CAQ=∠BPC，
而∠BAQ=∠BPQ+∠ABP，
∴∠ABP=∠APC，
同理∠ACP=∠APB，
∴△PAB∽△CAP，
$\frac{AB}{PA}=\frac{AP}{AC}=\frac{PB}{PC}=\frac{1}{2}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$ PA，
AC=2 PA，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}PA}{2PA}$=$\frac{1}{4}$，
在△ABC中，AB：AC=BQ：QC=1：4，
∵BQ=1，
∴CQ=4．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．