Question

已知A₁，A₃是拋物線y=x²上兩點，A₁B₁，A₃B₃分別垂直于x軸，垂足分別為B₁，B₃，點C是線段A₁A₃的中點，過點C作CB₂垂直于x軸，垂足為B₂，CB₂交拋物線于點A₂．

（1）如圖1，已知A₁，A₃兩點的橫坐標(biāo)依次為1，3，求線段CA₂的長；
（2）如圖2，若將拋物線y=x²改為拋物線y=x²﹣x+1，且A₁，A₂，A₃三點的橫坐標(biāo)為連續(xù)的整數(shù)，其他條件不變，求線段CA₂的長；
（3）若將拋物線y=x²改為拋物線y=ax²+bx+c（a＞0），A₁，A₂，A₃三點的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，試猜想線段CA₂的長（用a，b，c表示，并直接寫出答案）．

Answer 1

解：（1）∵A₁，A₃的橫坐標(biāo)依次為1，3，
∴A₁B₁=×1²=，A₃B₃=×3²=，
由已知可得A₁B₁∥CB₂∥A₃B₃．
又∵C為A₁A₃的中點，
∴B₂為B₁B₃的中點，
∴B₂點的橫坐標(biāo)為2，
∴A₂B₂=×2²=2，
而CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）
=（+）+
∴CA₂=CB₂﹣A₂B₂=﹣2=；
（2）設(shè)A₁，A₂，A₃三點的橫坐標(biāo)依次為n﹣1，n，n+1，
則A₁B₁=（n﹣1）²﹣（n﹣1）+1，A₂B₂=n²﹣n+1，
A₃B₃=（n+1）²﹣（n+1）+1，
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃∥AB₂，
∴CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）
=[（n﹣1）²﹣（n﹣1）+1+（n+1）²﹣（n+1）+1]
=n²﹣n+，
∴CA₂=CB₂﹣A₂B₂=n²﹣n+﹣（n²﹣n+1）=；
（3）當(dāng)a＞0時，CA₂=a．