Question

【題目】如圖，，分別與相切于點和點，點為弧上一點，連接并延長交于點，為弧上的一點，連接交于點，連接，且．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，連接，若，求證：平分；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接交于點，連接，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接、，由切線的性質可得，由四邊形內角和是，得，由同弧所對的圓心角是圓周角的一半，得到，等量代換得到，由同位角相等兩直線平行，得到；

（2）過點做交延長線于點，由得，從而，由切線的性質，得，由，，得，從而，進而，即可證得由此，得到，即可證得平分；

（3）連接并延長交圓于點，連接、、、、，由，，可得，由、為半徑，可得，即可證出，由直徑所對的圓周角是直角，可得，在中，由正弦定義可得，由此，由為正方形，對角線垂直平分，從而，.在中，.延長交于，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得.

（1）連接、

∵、與圓相切于點、，且、為半徑，

∴，，

∴，

∴在四邊形中，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

（2）過點做交延長線于點

∵，

∴，

∴，

∵、為圓的切線，

∴，

∵，，

∴ ，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴平分；

（3）連接并延長交圓于點，連接、、、、

∵，，

∴，

∵、為半徑，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵為圓的直徑，

∴，

∵弧弧，

∴，

在中，，，則，

∴，

由題易證四邊形為正方形，

∴對角線垂直平分，，

∵在上，

∴，

在中，，

延長交于，

∵，可證，，

∴，，

∴在中，

在中，

∵，

∴

∴．