Question

直線y=-

3

4

x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P、Q同時從O點(diǎn)勻速出發(fā)，同時到達(dá)A點(diǎn)，到達(dá)A時運(yùn)動停止．點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)P沿路線O→B→A運(yùn)動．
（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；求點(diǎn)P的速度．
（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t秒，△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)s=

48

5

時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；因?yàn)镺A=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q由O到A的時間是8秒，點(diǎn)P的速度是2；
（2）①當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動（或0≤t≤3）時，OQ=t，OP=2t，S=t²；
②當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動（或3＜t≤8）時，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于點(diǎn)D，由相似三角形的性質(zhì)，得PD=

48-6t

5

，利用S=

1

2

OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=

48

5

，求出t的值，進(jìn)而求出OD、PD，即可求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

4

x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時，x=8，即A（8，0）．
當(dāng)x=0時，y=6，即B（0，6）．
∴在Rt△AOB中，OA=8，OB=6，則由勾股定理知AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10．
∵動點(diǎn)P、Q同時從O點(diǎn)勻速出發(fā)，同時到達(dá)A點(diǎn)，到達(dá)A時運(yùn)動停止．點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)P沿路線O→B→A運(yùn)動
∴點(diǎn)P的速度=

OB+AB

OA 1

=

6+10

8

=2，即點(diǎn)P的速度是每秒2個單位長度；
（2）①當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動（或O≤t≤3）時，
OQ=t，OP=2t，S=

1

2

OP•OQ=

1

2

×2t×t=t²．
②當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動（3＜t≤8）時，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，則PD∥OB，
∴

PD

OB

=

AP

AB

，得PD=

48-6t

5

，
∴S=

1

2

OQ×PD=-

3

5

t²+

24

5

t．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：S=

t2(0≤t≤3) - 3 5 t2+ 24 5 t(3＜t≤8)

；

（3）∵

48

5

＞

1

2

×3×6，
∴當(dāng)S=

48

5

時，點(diǎn)P在線段AB上．
∴-

3

5

t²+

24

5

t=

48

5

（3＜t≤8），解得，t=4．
∴PD=

48-6×4

5

=

24

5

，AP=16-2×4=8，AD=

AP2-PD2

=

32

5

，
∴OD=OA-AD=8-

32

5

=

8

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

8

5

，

24

5

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了勾股定理，平行線分線段成比例以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（2）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．