Question

如圖，在?ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）如果四邊形ABCD是菱形，求證：四邊形AECF也是菱形．
（3）如果四邊形ABCD是矩形，請判斷四邊形AECF的形狀，不必寫出證明過程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行四邊形；
（2）根據(jù)對角線互相垂直的四邊形是菱形即可證明；
（3）因為矩形的對角線相等，根據(jù)對角線互相平分的四邊形可判定AECF的形狀．

解答：證明：（1）如圖，連AC，設AC、BD相交于點O．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=FD，
∴OB-BE=OD-DF，即 OE=OF．
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即AC⊥EF；
由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，
∴四邊形AECF是菱形；

（3）如果四邊形ABCD是矩形，四邊形AECF是平行四邊形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質、菱形的性質、矩形的性質以及平行四邊形的判定、菱形的判定方法，解題的關鍵是準確掌握各種性質和判定．