Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長.

小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，

巧妙地解答了此題.

請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；

　 (2)設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值.

Answer 1

 (1)證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF

∴∠DAB＝∠EAB    ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，

∴∠EAF＝90°

又∵AD⊥BC

∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°

又∵AE＝AD，AF＝AD

∴AE＝AF

∴四邊形AEGF是正方形

(2)解：設AD＝x，則AE＝EG＝GF＝x

∵BD＝2，DC＝3

∴BE＝2 ，CF＝3

∴BG＝x－2，CG＝x－3

在Rt△BGC中，BG²＋CG²＝BC²

∴( x－2)²＋(x－3)²＝5²

化簡得，x²－5x－6＝0

解得x₁＝6，x₂＝－1（舍）

所以AD＝x＝6