Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點為點A，與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC.現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC、PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F，設(shè)動點P、Q移動的時間為t（單位：秒）；
（1）求A、B、C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；
（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；
（3）當時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；
（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程。

Answer 1

解：（1），
令y=0，得x²-8x-180=0，
（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10，
∴A（18，0），
在中，令x=0，得y=-10，
即B（0，-10），
由于BC∥OA，故點C的縱坐標為-10，
由得x=8或x=0，
即C（8，-10），
且易求出頂點坐標為，
于是A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），
頂點坐標為；
（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t，得；
（3）設(shè)點P運動t秒，則OP=4t，CQ=t，，
說明P在線段OA上，且不與點O、A重合，
由于QC∥OP，知△QDC∽△PDO，
故
同理QC∥AF，
故，
即
∴AF=4t=OP，
∴PF=PA+AF=PA+OP=18，
又點Q到直線PF的距離d=|OB|=|-10|=10，
∴
故當時，S_△PQF總為定值90；
（4）由前面知道，P（4t，0），F(xiàn)（18+4t，0），Q（8-t，-10），，
構(gòu)造直角三角形后易得：
PQ²= （4t-8 +t）²+10²= （5t -8）²+100，
FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100，
①若FP= FQ，即18²=（5t +10）²+100，
故25（t+2）²=224，（t+2）²=，
∵
∴
∴
②若QP=QF，即（5t-8）²+100=（5t+10）²+100，
即（5t-8）²=（5t+10）²，
無0≤t≤的t滿足方程，
③若PQ=PF，即（5t-8）²+100=18²
∴（5t-8）²=224，
由于，又，
∴，
故無的t滿足此方程，
綜上所述：時，△PQF為等腰三角形。