Question

如圖，以正方形ABCD的DC邊為一邊向外作一個等邊三角形．
①求證：△ABE是等腰三角形；
②求∠BAE的度數．

Answer 1

①證明：在正方形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
在等邊△CDE中，DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°，
所以，∠ADC+∠CDE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
即∠ADE=∠BCE=150°，
在△ADE和△BCE中，，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，
∴△ABE是等腰三角形；

②解：在△ADE中，AD=CD=DE，
∵∠ADE=150°，
∴∠DAE=（180°-150°）=15°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-15°=75°．
分析：①根據正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角，求出AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，等邊三角形的三條邊都相等，三個角都是直角求出DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°，再求出∠ADE=∠BCE=150°，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=BE，從而得證；
②根據等腰三角形兩底角相等求出∠DAE的度數，再根據∠BAE=∠BAD-∠DAE代入數據進行計算即可得解．
點評：本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，熟練掌握各圖形的性質求出△ADE≌△BCE是解題的關鍵．