Question

如圖，已知一個等腰三角形紙片ABC，其中BC=6，AB=AC=5，M為AB上一動點（點M與點A、B不重合），過點M作MN∥BC，交AC于點N，在△AMN中，設(shè)MN的長為x，MN上的高為h．
（1）請你用含x的代數(shù)式表示h．
（2）將△AMN沿MN折疊，使△AMN落在四邊形BCNM所在平面，設(shè)點A落在平面的點為A₁，△A₁MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，
①把y用x表示出來；
②x為何值時，y最大，最大值為多少？

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過A作AF⊥BC，交BC于點F，交MN于點E，利用勾股定理可求得AF，且△AMN∽△ABC，利用對應高的比等于相似比可找到h和x的關(guān)系；
（2）①當M為AB中點即MN為△ABC的中位線時，可求得MN=3，所以當0＜x≤3時可知重疊部分恰好為△AMN的面積，可利用（1）中的高表示出面積；當3＜x＜6時，其重疊部分為一梯形，利用相似比可用x表示出該梯形的底和高，進一步表示出其面積即可；
②利用①中求出的函數(shù)關(guān)系式，求出兩部分的最大值進行比較即可得出y的最大值．

解答：解：（1）如圖1，過A作AF⊥BC于F，交MN于E，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BF=3，可求得AF=4，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，且AE⊥MN，即AE=h，
∴

AE

AF

MN

BC

，即

h

4

=

x

6

，
∴h=

2

3

x；
（2）①當M、N為AB、AC的中點時，可知MN=

1

2

BC=3，
當0＜x≤3時，如圖2，

則y=S△A1MN=S_△AMN=

1

2

MN•h=

1

2

x×

2

3

x=

1

3

x²；
當3＜x＜6時，如圖3，設(shè)△A₁MN交BC于G、H兩點，

則y=S_梯形GHNM，
由題意可知A₁E=AE=h，
∴A₁F=A₁A-AF=2h-4，且△A₁GH∽△A₁MN，
∴

A1F

A1E

=

GH

MN

，即

2h-4

h

=

GH

x

，且h=

2

3

x，
∴

4 3 x-4

2 3 x

=

GH

x

，解得GH=2x-6，且EF=4-h=4-

2

3

x，
∴y=

1

2

（GH+MN）•EF=

1

2

（2x-6+x）（4-

2

3

x）=-x²+8x-12，
綜上可知y=

1 3 x2(0＜x≤3) -x2+8x-12(3＜x＜6)

；
②當0＜x≤3時，y隨x的增大而增大，
∴當x=3時，y_max=3，
當3＜x＜6時，y=-（x-4）²+4，
∴當x=4時，y_max=4，
綜上可知當x=4時y有最大值，最大值為4．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合應用，在（1）中利用相似得到對應線段成比例得到關(guān)于x和h的式子是解題的關(guān)鍵，在（2）中分兩種情況討論，其中求得梯形的底和高是關(guān)鍵．本題目考查的知識點比較多，運算量也比較大，綜合性較強．