Question

如圖，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，過點D作直線交BA的延長線于E，交⊙O于點M，點N為上任意一點，連接DN交AB于F．
（1）已知DM=，cos∠BED=，求⊙O的半徑；
（2）求證：DN•DF=DE•MD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CM，由于CD是⊙O的直徑，所以∠CMD=90°，再由AB⊥CD可得出∠E+∠CDM=90°，進而可的得出∠C=∠BED，所以cos∠C=cos∠E=，設(shè)CM=4x，則CD=5x，由勾股定理可知MD=3x，再根據(jù)DM=可求出x的值，故可求出CD的值，進而得出結(jié)論；
（2））根據(jù)∠DCM=∠E，∠DCM=∠N可知∠N=∠E，再由∠MDN=∠EDF，可得出△NDM∽△EDF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．
解答：（1）解：連接CM，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CMD=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠E+∠CDM=90°，
又∵∠DCM+∠CDM=90°，
∴∠C=∠BED，
∴cos∠C=cos∠E=，
∴設(shè)CM=4x，則CD=5x，
∴MD===3x，
∵DM=，
∴x=，
∴CD=，
∴⊙O的半徑為；

（2）∵∠DCM=∠E，∠DCM=∠N，
∴∠N=∠E，
又∵∠MDN=∠EDF，
∴△NDM∽△EDF，
∴=，
∴DN•DF=DE•MD．
點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識，難度適中．