Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，且AG⊥CG．
（1）求證：△CAG∽△ABC；
（2）求sinB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的重心,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）證明：CG交AB于D，如圖，設(shè)GD=a，根據(jù)重心的性質(zhì)得CG=2DG=2a，根據(jù)重心的定義得CD為AB邊上的中線，接著根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=AD=BD=3a，則∠1=∠3，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC；
（2）根據(jù)相似的性質(zhì)，由△CAG∽△ABC得到

AC

AB

=

CG

AC

，則可計(jì)算出AC=2

3

a，然后在Rt△ACB中，利用正弦的定義求解．

解答：（1）證明：CG交AB于D，如圖，設(shè)GD=a，
∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴CG=2DG=2a，CD為AB邊上的中線，
∴CD=AD=BD=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC；
（2）解：∵△CAG∽△ABC，
∴

AC

AB

=

CG

AC

，即

AC

6a

=

2a

AC

，
∴AC=2

3

a，
在Rt△ACB中，sinB=

AC

AB

=

2 3 a

6a

=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查相似三角形的判定與性質(zhì)．