Question

如圖，自正方形ABCD的頂點(diǎn)A引兩條射線(xiàn)分別交BC、CD于E、F，∠EAF=45°的前提下，在保持∠EAF=45°的前提下，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動(dòng)時(shí)，求證：BE+DF=EF．

Answer 1

分析：把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，再求出∠EAG=45°，從而得到∠EAG=∠EAF，再利用“邊角邊”證明△AEG和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EG=EF，再根據(jù)BE+GB=EG代換即可．

解答：證明：如圖，把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△AEG和△AEF，

AG=AF ∠EAG=∠EAF AE=AE

，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG=EF，
∵BE+GB=EG，
∴BE+DF=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．