Question

10．在平面直角坐標系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在x軸上找一點P，使得△PAB的周長最小，則點P的坐標為（$\frac{4}{3}$，0）．

Answer 1

分析 因為AB的長度是確定的，故△PAB的周長最小就是PA+PB的值最小，因為3＞5，所以點P在y軸上，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點P，求出P點坐標即可．

解答 解：∵線段AB的長度是確定的，
∴△PAB的周長最小就是PA+PB的值最小，
∵3＜5，
∴點P在y軸上，
如圖1，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點P，
∵A（1，1），
∴A′（-1，1），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=5}\\{-k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1\\;}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線A′B的解析式為y=x+2，
當x=0時，y=2，
∴P（0，2）．
A′B=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$；
如圖2，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點P，
∵A（1，1），
∴A′（1，-1），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=5}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線A′B的解析式為y=3x-4，
當y=0時，x=$\frac{4}{3}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，0）．
A′B=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}=2\sqrt{10}$．
∵4$\sqrt{2}$＜2$\sqrt{10}$．
故答案為：（$\frac{4}{3}$，0）

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知“兩點之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．