Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作CA∥x軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，4）

①求b，c的值；

②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；

（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）①；②四邊形AOBD是平行四邊形，理由見解析；（2）存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（，2）或（，2）.

【解析】

試題分析：（1）①將拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線即可求出b、c的值.

②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形.

（2）要使四邊形AOBD是矩形，則需∠AOB=∠BCO=90°，

∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC. ∴，

又∵AB=AC+BC=3BC，∴.

∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC.

∴.

∵C點(diǎn)是拋物線與y軸交點(diǎn)，∴OC=c.

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，c），∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo).

將A點(diǎn)代入y=﹣x2+bx+c可得恒成立

∴橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為c即可，令c=2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)可以為（，2）或（，2）.

試題解析：【解析】
（1）①∵AC∥x軸，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，4）．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）

把A、C代入y═﹣x2+bx+c得，得，解得.

②四邊形AOBD是平行四邊形，理由如下：

由①得拋物線的解析式為，

∵，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，8）.

如答圖，過點(diǎn)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE=OC=4，AE=2，

∵AC=4，BC=AC，∴BC=AC=2. ∴AE=BC．

∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90°.

∴△AED≌△BCO，∴AD=BO，∠DAE=∠BCO. ∴AD∥BO.∴四邊形AOBD是平行四邊形．

（2）存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（，2）或（，2）.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；3.二次函數(shù)的性質(zhì)；4.平行四邊形的判定和性質(zhì)；5.全等三角形的判定和性質(zhì)；6.相似三角形的判定和性質(zhì)；7.勾股定理；8.矩形的性質(zhì)．