Question

如圖，△ABC中，AE、BF是角平分線，它們相交于點O．（∠ABC＞∠C），
（1）試說明∠BOA=90°+∠C；
（2）當(dāng)AD是高，判斷∠DAE與∠C、∠ABC的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）理由：∵△ABC中，AE、BF是角平分線，
∴∠BOA=180°-（∠CAB+∠CBA），
∵∠CAB+∠CBA=180°-∠C，
∴∠BOA=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C；

（2）關(guān)系：∠DAE=（∠ABC-∠C）．
理由：∵∠CAB=180°-∠C-∠ABC，
∵AE是角平分線，
∴∠CAE=∠BAE=（180°-∠C-∠ABC），
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠DAE+∠AED=90°，
∠C+∠CAE=∠AED，
∴∠DAE=90°-∠AED=90°-[∠C+（180°-∠C-∠ABC）]，
=（∠ABC-∠C）．
分析：（1）先利用三角形內(nèi)角和定理可求∠BOA=180°-（∠CAB+∠CBA），以及∠CAB+∠CBA=180°-∠C，即可得出∠BOA=180°-（180°-∠C）整理得出即可；
（2）根據(jù)角平分線定義可求∠CAE=∠BAE=（180°-∠C-∠ABC），然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求∠AED，再次利用三角形外角性質(zhì)，容易求出∠DAE即可．
點評：此題主要考查了三角形外角和定理、角平分線定義、三角形外角性質(zhì)．關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)解出∠EAD，再運用三角形外角性質(zhì)求出是解決問題的關(guān)鍵．