Question

（1）畫出函數(shù)y=|x²-2

3

x+1|的圖象；
（2）為使方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b有四個不同的實(shí)數(shù)根，求b的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）畫出函數(shù)y=x²-2

3

x+1的圖象，將x軸下方的圖象沿x軸對折到x軸上方即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合y=|x²-2

3

x+1|的圖象與y=

1

3

x+b圖象的交點(diǎn)個數(shù)即是方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b的實(shí)數(shù)根，分別找出有三個交點(diǎn)的分界點(diǎn)即可求出答案．

解答：解：（1）如圖所示：畫出y=x²-2

3

x+1與y=-x²+2

3

x-1的函數(shù)圖象，x軸上方部分即是函數(shù)y=|x²-2

3

x+1|的圖象；

（2）∵為使方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b有四個不同的實(shí)數(shù)根，
∴可以結(jié)合y=|x²-2

3

x+1|的圖象與y=

1

3

x+b圖象的交點(diǎn)個數(shù)為4個即可，
結(jié)合圖象可得出：當(dāng)一次函數(shù)y=

1

3

x+b經(jīng)過B點(diǎn)時，兩個圖象三個交點(diǎn)，當(dāng)向上平移圖象將四個交點(diǎn)，
∵y=|x²-2

3

x+1|與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，
∴0=x²-2

3

x+1，
解得：x₁=

3

-

2

，x₂=

3

+

2

（不合題意舍去），
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

3

-

2

，0），
將B點(diǎn)代入y=

1

3

x+b，
∴0=

1

3

×（

3

-

2

）+b，
解得：b=

6

3

-1，
∴b＞

6

3

-1時兩圖象有四個交點(diǎn)；
當(dāng)一次函數(shù)y=

1

3

x+b經(jīng)過頂點(diǎn)A點(diǎn)時，兩個圖象三個交點(diǎn)，當(dāng)向下平移圖象將四個交點(diǎn)，
∵結(jié)合圖象可知y=|x²-2

3

x+1|的頂點(diǎn)坐標(biāo)與y=-x²+2

3

x-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同，
∴y=|x²-2

3

x+1|的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：y=-x²+2

3

x-1=-（x-

3

）²+2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（

3

，2），
∴把頂點(diǎn)A代入y=

1

3

x+b，
∴2=

1

3

×

3

+b，
解得：b=1，
∴當(dāng)b＜1時兩圖象有四個交點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)

6

3

-1＜b＜1時，兩圖象有四個交點(diǎn)；
∴為使方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b有四個不同的實(shí)數(shù)根，b的變化范圍是：

6

3

-1＜b＜1．

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)圖象的性質(zhì)以及方程與函數(shù)的綜合應(yīng)用，結(jié)合圖象得出y=|x²-2

3

x+1|的圖象與y=

1

3

x+b圖象的交點(diǎn)個數(shù)即是方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b的實(shí)數(shù)根是解決問題的關(guān)鍵．