Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax²+bx+c過點D，B，C三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ED是⊙P的切線；

（3）若將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點的對應點E′會落在拋物線y=ax²+bx+c上嗎？請說明理由；

（4）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（﹣4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣2），

把D（0，2）代入得a•4•（﹣2）=2，解得a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x²﹣x+2；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴=，==，

∴=，

而∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD為⊙P的直徑，

∴ED是⊙P的切線；

（3）E點的對應點E′不會落在拋物線y=ax²+bx+c上．理由如下：

∵△AED∽△COD，

∴=，即=，解得DE=3，

∵∠CDE=90°，DE＞DC，

∴△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點的對應點E′在射線DC上，

而點C、D在拋物線上，

∴點E′不能在拋物線上；

（4）存在．

∵y=﹣x²﹣x+2=﹣（x+1）²+

∴M（﹣1，），

而B（﹣4，0），D（0，2），

如圖2，

當BM為平行四邊形BDMN的對角線時，點D向左平移4個單位，再向下平移2個單位得到點B，則點M（﹣1，）向左平移4個單位，再向下平移2個單位得到點N₁（﹣5，）；

當DM為平行四邊形BDMN的對角線時，點B向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點M，則點D（0，2）向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點N₂（3，）；

當BD為平行四邊形BDMN的對角線時，點M向左平移3個單位，再向下平移個單位得到點B，則點D（0，2）向右平移3個單位，再向下平移個單位得到點N₃（﹣3，﹣），

綜上所述，點N的坐標為（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）．