Question

如圖，點P在⊙O的直徑AB的延長線上，PC切⊙O于點C，∠P=30°，連接AC，BC．
（1）求證：2PB=AB．
（2）若AC=4cm，求⊙O的半徑r．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵PC切⊙O于點C，
∴PC⊥OC，
又∠P=30°，∴，
∴2PB=2OB=AB．

（2）解：在Rt△POC中，由（1）可知∠POC=60°，又OB=OC，
∴△OBC是正三角形，∴∠ABC=60°；
∵AB是⊙O的直徑，∴△ABC是直角三角形；
∴，
即，解得AB=8；
∴⊙O的半徑．
分析：（1）連接OC，由于PC與⊙O相切，那么△PCO為直角三角形，根據(jù)∠P的度數(shù)，即可得OP=2OC，即BP=OC，由此可得BP等于⊙O的半徑，而AB是⊙O的直徑，即可得證．
（2）易知∠ABC=2∠P=60°，在Rt△ABC中，通過解直角三角形即可得AB的長，進而可求得⊙O的半徑．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及解直角三角形的相關知識，難度不大．