Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A（0，3），B（，0），C（3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切于點(diǎn)E，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．

Answer 1

解：（1）設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），
將點(diǎn)A（0，3），B（，0），C（3，0）代入得：
，
解得：，
故二次函數(shù)解析式為：；

（2）拋物線的對(duì)稱軸與⊙C相切；
理由：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E，
在Rt△OAB中，
∵OB=，OA=3，OC=3
∴AB=2，BC=2，
∴AB=BC，
又∵∠ABD=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在△OAB和△EBC中，
，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE=OB=；
∵拋物線的對(duì)稱軸為：x=2，
∴點(diǎn)C到對(duì)稱軸的距離為：，
∴拋物線的對(duì)稱軸與⊙C相切；

（3）設(shè)AC為y=kx+b′
將A（0，3），C（3，0）代入得：
，
解得：，
∴AC所在直線解析式為：y=-x+3，
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)P′，連接AP，PC，
則PP′=-x+3-x²+x-3
=-x²+x
=-（x-）²+，
∴當(dāng)x=時(shí)，△PAC的面積最大，最大值為：×PP′×CO=，
當(dāng)x=時(shí)，y=x²-x+3=-，
此時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，-）．
分析：（1）直接將點(diǎn)A（0，3），B（，0），C（3，0）代入y=ax²+bx+c，求出a，b，c的值求出即可；
（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E，證明△OAB≌△EBC，即可得出CE=OB=，再利用拋物線的對(duì)稱軸，即可得出拋物線的對(duì)稱軸與⊙C的位置關(guān)系；
（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)P′，首先求出PP′的最值，進(jìn)而得出，△PAC的面積最大值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出PP′的最值是解題關(guān)鍵．