Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程ax²＋2ax＋c＝0的兩個實數(shù)根之差的平方為m．(1)試分別判斷當(dāng)a＝1，c＝－3與a＝2，c＝時，m≥4是否成立，并說明理由；(2)若對于任意一個非零的實數(shù)a，m≥4總成立，求實數(shù)c及m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)當(dāng)a＝1，c＝－3時，m≥4成立；當(dāng)a＝2，c＝時，m≥4不成立． 　　當(dāng)a＝1，c＝－3時，原方程為x2＋2x－3＝0，則x1＝1，x2＝－3， 　　∴m＝〔(1－(－3)〕2＝16＞4，即m≥4成立． 　　當(dāng)a＝2，c＝時，原方程為2x2＋4x＋＝0， 　　由Δ＝42－4×2×＞0，可設(shè)方程的兩根分別為x1、x2， 　　則x1＋x2＝－2，x1·x2＝． 　　∴m＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－2＜4，即m≥4不成立． 　　(2)依題意，設(shè)原方程的兩個實數(shù)根是x1、x2，則x1＋x2＝－2，x1·x2＝． 　　可得m＝(x1－x2)2＝4－． 　　∵對于任意一個非零的實數(shù)a都有4－≥4，∴c＝0． 　　當(dāng)c＝0時，Δ＝4a2＞0，∴c＝0，m＝4． 　　分析：(1)要計算兩個實根之差有兩個辦法：①求出兩個實數(shù)根，再求這兩個實根之差；②由x1－x2＝，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2，x1·x2的值，進而求出x1－x2的值．這樣就可以判斷m≥4是否成立． 　　(2)要使m≥4總成立，則由m＝(x1－x2)2求出與a、c有關(guān)的代數(shù)式，討論與a、c有關(guān)的代數(shù)式何時滿足大于或等于4的條件，就可求出c、m的值．