Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；
（1）若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后可使△PQC的面積為8cm²？
（2）若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后PQ的長度為

12 5

5

cm；
（3）△PCQ的面積能否等于△ABC面積的一半？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)果P、Q同時(shí)出發(fā)，x秒鐘后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此時(shí)△PCQ的面積為：

1

2

×2x（6-x），令該式=8，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值；
（2）利用CP=6-x，則CQ=2x，由勾股定理定理可得解；
（3）△ABC的面積的一半等于

1

2

×

1

2

×AC×BC=12cm²，令

1

2

×2x（6-x）=12，判斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在．

解答：解：P點(diǎn)的移動(dòng)速度為1cm/s，Q點(diǎn)的移動(dòng)速度為2cm/s，所以設(shè)CP=6-x，則CQ=2x，
（1）△PQC的面積為8cm²，即（6-x）（2x）=8，
解得x=2或4，
故2秒或4秒后△PQC的面積為8cm²；

（2）PQ的長度為

12 5

5

cm．
即（2x）²+（6-x）²=

144

5

，
解得x₁=x₂=1.2，
故1.2秒后PQ的長度為

12 5

5

cm．

（3）由題意得：
S_△ABC=

1

2

×AC•BC=

1

2

×6×8=24，
即：

1

2

×2x×（6-x）=

1

2

×24，
x²-6x+12=0，
△=6²-4×12=-12＜0，該方程無實(shí)數(shù)解，
所以，不存在使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半的時(shí)刻．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用和三角形面積的計(jì)算以及一元二次方程的求解，本題中列出關(guān)于x的方程并求解是解題的關(guān)鍵．