Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于A（-1，0）、B（5，0）、C（0，4）三點，頂點為點D．
（1）求二次函數(shù)的解析式，并求出頂點坐標；
（2）x軸上方的拋物線是否存在異于B、C的點P，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，使直線BC平分△PMB的面積？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使AQ等于點B到直線AQ的距離？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A（-1，0），B（5，0），C（0，4）三點，
∴，
解得，
∴y=-x²+x+4，
∴y=-x²+x+4=-（x-2）²+，
∴點D的坐標為（2，）．
（2）設(shè)直線為BC為y=kx+b，則
，
解得，
則y=-x+4．
設(shè)點P的坐標為（x，-x²+x+4），
∵BC平分△PMB的面積，
∴PG=GM，
∴-x²+x+4-（-x+4）=-x+4，
∴x²-6x+5=0，
解得x₁=1，x₂=5（不合題意，舍），
∴點P的坐標為（1，）．
（3）∵A點坐標為（-1，0），B點坐標為（5，0），
∴函數(shù)對稱軸坐標為x=2，
設(shè)Q點坐標為（2，m），
連接AQ、BQ，作BN⊥AQ，垂足為N．
設(shè)AQ解析式為y=kx+b，
將A（-1，0），Q（2，m）分別代入解析式得，
，
解得，
函數(shù)解析式為y=x+，
整理得mx-3y+m=0，
根據(jù)兩點間距離公式得BN=，
則在△ABQ中，AB•QE=AQ•BN，
×5×m=××，
整理得，
m²-6m+9=0，m²+6m+9=0，
解得m=3或m=-3．
故Q點坐標為（2，3）或（2，-3）．
分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將A（-1，0）、B（5，0）、C（0，4）分別代入解析式，組成三元一次方程組，解答即可；
（2）設(shè)直線為BC為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出其解析式，設(shè)點P的坐標為（x，-x²+x+4），根據(jù)BC平分△PMB的面積，得到PG=GM，進而得到方程x²-6x+5=0，求出x的值即為P點橫坐標，代入解析式即可求出P點縱坐標，從而求出P點坐標；
（3）連接AQ、BQ，作BN⊥AQ，垂足為N，設(shè)出Q點坐標，利用勾股定理表示出AQ的長，求出AQ的函數(shù)表達式，根據(jù)點到直線的距離公式，求出BN的表達式，利用△ABQ的面積的不同求法，建立等式，求出m的值，可得Q點的坐標．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式、點到直線的距離公式、勾股定理、三角形面積求法等知識，要注意利用圖形．