Question

5．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，O為BC的中點(diǎn)，OE平分∠AOB，與AB相交于點(diǎn)E，OD平分∠AOC，與AC相交于點(diǎn)D．
求證：四邊形ADOE為矩形，并求四邊形ADOE的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OA=$\frac{1}{2}$BC=OB=OC，由等腰三角形的性質(zhì)得出OE⊥AB，AE=BE，AD=CD，OD⊥AC，證出四邊形ADOE為矩形，得出AE=OD，AD=OE，求出OD=AE=$\frac{1}{2}$AB=4，OE=AD=$\frac{1}{2}$AC=3，即可得出四邊形ADOE的周長(zhǎng)．

解答 解：∵∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)，
∴OA=$\frac{1}{2}$BC=OB=OC，
∵OE平分∠AOB，OD平分∠AOC，
∴OE⊥AB，AE=BE，AD=CD，OD⊥AC，
∴∠AEO=∠ADO=90°，
∴四邊形ADOE為矩形，
∴AE=OD，AD=OE，
∵AB=8，AC=6，
∴OD=AE=$\frac{1}{2}$AB=4，OE=AD=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴四邊形ADOE的周長(zhǎng)=2（AD+AE）=2（3+4）=14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出OE⊥AB，AE=BE，AD=CD，OD⊥AC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．