Question

15．如圖，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動(dòng)到與CD相切時(shí)立即沿原路按原速返回，當(dāng)⊙O回到出發(fā)時(shí)的位置（即再次與AB相切）時(shí)停止移動(dòng)，已知點(diǎn)P與⊙O同時(shí)開(kāi)始移動(dòng)，同時(shí)停止移動(dòng)（即同時(shí)到達(dá)各自的終止位置）．
（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動(dòng)了a+2bcm（用含a、b的代數(shù)式表示）；
（2）如圖①，已知點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，移動(dòng)2s到達(dá)B點(diǎn)，繼續(xù)移動(dòng)3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P與⊙O的移動(dòng)速度相等，求在這5s時(shí)間內(nèi)圓心O移動(dòng)的距離；
（3）如圖②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)（此時(shí)圓心O₁在矩形對(duì)角線BD上），DP與⊙O₁恰好相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；
（2）根據(jù)圓O移動(dòng)的距離與P點(diǎn)移動(dòng)的距離相等，P點(diǎn)移動(dòng)的速度相等，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得a、b的值，根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)相同時(shí)間內(nèi)速度的比等于路程的比，可得$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$的值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠ADB=∠BDP，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BP與DP的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得DP的長(zhǎng)，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得P點(diǎn)移動(dòng)的距離；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EO₁的長(zhǎng)，分類討論：當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)，當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O₁位置時(shí)，根據(jù)$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$的值，可得答案．

解答 解：（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動(dòng)了 a+2bcm（用含a、b的代數(shù)式表示）；
（2）∵圓心O移動(dòng)的距離為2（a-4）cm，
由題意，得
a+2b=2（a-4）①，
∵點(diǎn)P移動(dòng)2秒到達(dá)B，即點(diǎn)P2s移動(dòng)了bcm，點(diǎn)P繼續(xù)移動(dòng)3s到達(dá)BC的中點(diǎn)，
即點(diǎn)P3秒移動(dòng)了$\frac{1}{2}$acm．
∴$\frac{2}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{3}$   ②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{a=24}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)P移動(dòng)的速度為與⊙O移動(dòng)速度相同，
∴⊙O移動(dòng)的速度為$\frac{2}$=$\frac{8}{2}$=4cm（cm/s）．
這5秒時(shí)間內(nèi)⊙O移動(dòng)的距離為5×4=20（cm）；
（3）存在這種情況，
設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)速度為v₁cm/s，⊙O₂移動(dòng)的速度為v₂cm/s，
由題意，得
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{a+2b}{2（a-4）}$=$\frac{20+2×10}{2（20-4）}$=$\frac{5}{4}$，
如圖：
設(shè)直線OO₁與AB交于E點(diǎn)，與CD交于F點(diǎn)，⊙O₁與AD相切于G點(diǎn)，
若PD與⊙O₁相切，切點(diǎn)為H，則O₁G=O₁H．
易得△DO₁G≌△DO₁H，
∴∠ADB=∠BDP．
∵BC∥AD，
∴∠ADB=∠CBD
∴∠BDP=∠CBD，
∴BP=DP．
設(shè)BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20-x）cm，
在Rt△PCD中，由勾股定理，得
PC²+CD²=PD²，即（20-x）²+10²=x²，
解得x=$\frac{25}{2}$
此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為10+$\frac{25}{2}$=$\frac{45}{2}$（cm），
∵EF∥AD，
∴△BEO₁∽△BAD，
∴$\frac{E{O}_{1}}{AD}$=$\frac{BE}{BA}$，即$\frac{E{O}_{1}}{20}$=$\frac{8}{10}$，
EO₁=16cm，OO₁=14cm．
①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為14cm，
此時(shí)點(diǎn)P與⊙O移動(dòng)的速度比為$\frac{\frac{45}{2}}{14}$=$\frac{45}{28}$，
∵$\frac{45}{28}$≠$\frac{5}{4}$，
∴此時(shí)PD與⊙O₁不能相切；
②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O₁位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為2（20-4）-14=18cm，
∴此時(shí)點(diǎn)P與⊙O移動(dòng)的速度比為$\frac{\frac{45}{2}}{18}$=$\frac{45}{36}$=$\frac{5}{4}$，
此時(shí)PD與⊙O₁恰好相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題，（1）利用了有理數(shù)的加法，（2）利用了P與⊙O的路程相等，速度相等得出方程組是解題關(guān)鍵，再利用路程與時(shí)間的關(guān)系，得出速度，最后利用速度乘以時(shí)間得出結(jié)果；（3）利用了相等時(shí)間內(nèi)速度的比等于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時(shí)間內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關(guān)鍵．