Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△APQ∽△ABC；

（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：

相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．

分析：

（1）由兩對(duì)角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△APQ∽△ABC；

（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論．

（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）關(guān)系計(jì)算AP的長(zhǎng)；

（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP．

解答：

（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠APQ=∠C．

在△APQ與△ABC中，

∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

∴△APQ∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠BPQ為鈍角，

∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ．

（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．

由（1）可知，△APQ∽△ABC，

∴，即，解得：PB=，

∴AP=AB﹣PB=3﹣=；

（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點(diǎn)B為線段AB中點(diǎn)，

∴AP=2AB=2×3=6．

綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為或6．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查相似三角形及分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度不大．第（2）問(wèn)中，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．