Question

如圖，△ABC的兩條高AD、CE相交于點H，D、E分別是垂足，過點C作BC的垂線交△ABC的外接圓于點F，求證：AH=FC．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：根據(jù)圓周角定理以及三角形的內(nèi)角和定理可以證得∠NHC=∠N，然后根據(jù)三線合一定理即可判斷DH=DN，根據(jù)AD⊥BC，以及直徑所對的圓周角是直角，即可證得∠BCF=90°，則AH∥CF，然后根據(jù)等弧所對的圓周角相等，平行線的判定定理證明AF∥CH，即可證得四邊形AHCF．

解答：證明：延長AD交圓于點N，連接BF、AF、CN．
∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEH=∠NDC=90°，
又∵∠EAH=∠DCN
∴∠AHE=∠N
∵∠NHC=∠AHE
∴∠NHC=∠N，
∴NC=CH
又∵BC⊥NH
∴DN=DH，
∴CH=CN，
∴∠NHC=∠N．
∵∠BCF=90°，
∴BF是圓的直徑，
∴∠BCF=90°，
又∵AD⊥BC
∴AD∥CF，
∴

AF

=

CN

，
∴∠FAD=∠N
又∵∴∠NHC=∠N，
∴∠FAD=∠NHC
∴AF∥CH，
又∵AH∥CF，
∴四邊形AHCF為平行四邊形．

點評：本題考查了圓周角定理，以及平行四邊形的判定方法，正確證得四邊形AHCF為平行四邊形是關(guān)鍵．