Question

某商家計劃從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺，空調(diào)的采購單價y1（元/臺）與采購數(shù)量x1（臺）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數(shù)）；冰箱的采購單價y2（元/臺）與采購數(shù)量x2（臺）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數(shù)）．

（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購單價不低于1200元，問該商家共有幾種進貨方案？

（2）該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價售出空調(diào)和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問采購空調(diào)多少臺時總利潤最大？并求最大利潤．

 

Answer 1

（1）5 （2）采購空調(diào)15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元．

【解析】

試題分析：（1）由題意可設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20﹣x）臺，根據(jù)題中的不等量關(guān)系可列出關(guān)于x的不等式組，求解得到x的取值范圍，再根據(jù)空調(diào)臺數(shù)是正整數(shù)確定進貨方案；

（2）按常規(guī)可設(shè)總利潤為W元，根據(jù)總利潤等于空調(diào)和冰箱的利潤之和整理得到W與x的函數(shù)關(guān)系式，整理成頂點式形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．

試題解析：（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20﹣x）臺，

由題意得，，

解不等式①得，x≥11，

解不等式②得，x≤15，

所以，不等式組的解集是11≤x≤15，

∵x為正整數(shù)，

∴x可取的值為11、12、13、14、15，

所以，該商家共有5種進貨方案；

（2）設(shè)總利潤為W元，

y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

則W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，

=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），

=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，

=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

當x＞9時，W隨x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴當x=15時，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），

答：采購空調(diào)15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元．

考點：1、一元一次不等式組的應(yīng)用；2、二次函數(shù)的應(yīng)用