Question

如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)

（1）求證：四邊形EFGH為正方形；

（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF=AC。

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。

∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。

∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形。

設(shè)AC與EH交于點(diǎn)M，

在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EH∥BD，同理GH∥AC。

又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。

∴四邊形EFGH是正方形。

（2）解：連接EG。

 

 

在梯形ABCD中，∵E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，

∴。

在Rt△EHG中，∵EH²+GH²=EG²，EH=GH，

∴，即四邊形EFGH的面積為。

【解析】三角形中位線定理，等腰梯形的性質(zhì)，正方形的判定，梯形中位線定理，勾股定理。

（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進(jìn)行正方形的判斷。

（2）連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長(zhǎng)，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出 ，也即得出了正方形EHGF的面積。