Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠AMB=75°，∠DCM=45°，CM=BM．
求證：
（1）△BMC為等邊三角形；
（2）AB=AD．

Answer 1

證明：（1）∵∠AMB=75°，∠DCM=45°，
∴∠BMC=180°-75°-45°=60°，
∵CM=BM，
∴△BMC是等邊三角形，（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）；

（2）過點C作CE⊥AB于點E，
∵△BMC是等邊三角形，
∴BC=BM，∠CBM=60°，
∵∠AMB=75°，∴∠MBA=90°-75°=15°，
∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=15°+60°=75°，
∴，
∴△AMB≌△EBC（AAS），
∴AB=CE，
∵AB∥CD，AD⊥AB，CE⊥AB，
∴AD=CE，
∴AB=AD．
分析：（1）根據(jù)∠BMC=180°-75°-45°=60°，CM=BM，利用等邊三角形的判定得出即可；
（2）首先利用AAS，證明△AMB≌△EBC，進而得出AD=CE，即可得出答案．
點評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形性質(zhì)等知識，根據(jù)已知作出高線得出△AMB≌△EBC是解題關鍵．