Question

在△ABC中，AB=AC=10，cosB=

4

5

（如圖1），D、E為線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=3（E在D右邊），運(yùn)動(dòng)初始時(shí)D和B重合，運(yùn)動(dòng)至E和C重合時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．過(guò)E作EF∥AC交AB于F，聯(lián)結(jié)DF．
（1）若設(shè)BD=x，EF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）如果△BDF為直角三角形，求△BDF的面積；
（3）如果MN過(guò)△DEF的重心，且MN∥BC分別交FD、FE于M、N（如圖2）．求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀和面積（直接寫(xiě)出答案）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形ABC為等腰三角形，腰AB=AC=10，底角B滿足cosB=

4

5

，可求得BC，再由EF∥AC，則

EF

AC

=

BE

BC

，把BD=x，EF=y，DE=3代入即可得出
y關(guān)于x的函數(shù)，再寫(xiě)出再寫(xiě)出自變量的取值范圍即可，（0≤x≤13）．
（2）依題意易得出FB=FE=

5

8

（x+3）．若∠FDB為直角時(shí)有BD=DE．可得出x的值為3，根據(jù)cosB=

4

5

，得FD，從而得出三角形BDF的面積；若∠BFD為直角時(shí)，則BF=EF即可得出x的值，從而得出三角形BDF的面積；
（3）根據(jù)MN∥BC，可得出線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形，直接寫(xiě)出面積即可．

解答：解：（1）∵在等腰三角形ABC中，腰AB=AC=10，底角B滿足cosB=

4

5

，
∴BC=10×

4

5

×2=16．
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

BE

BC

．
BD=x，EF=y，DE=3
∴y=

5

8

（x+3）．（0≤x≤13）．

（2）依題意易得在三角形FBE中，F(xiàn)B=FE=

5

8

（x+3）．
若∠FDB為直角時(shí)（如圖1），有BD=DE．
∴x=3     
又∵cosB=

4

5

，
∴FD=

3

4

BD=

3

4

×3=

9

4

．
∴三角形BDF的面積為

1

2

×

9

4

×3

27

8

．
若∠BFD為直角時(shí)（如圖2），BF=EF=

5

8

（x+3）=

4x

5

，
∴x=

75

7

，
∴△BDF的面積為

1

2

×

75

7

×

4

5

×

75

7

×

3

5

=

1350

49

，


（3）平行四邊形．面積為

13

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的綜合運(yùn)用，以及三角函數(shù)、勾股定理和三角形面積的計(jì)算，本題是難度較大的動(dòng)點(diǎn)題目，在做題時(shí)要認(rèn)真思考每一個(gè)已知條件，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．