Question

（2013•德州一模）如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AD：AB=

3

：2，CP：BP=1：2，連接EP并延長，交AB的延長線于點(diǎn)F，AP、BE相交于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AO•AP=OB²．其中正確的序號是

①②③

．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

Answer 1

分析：設(shè)AD=

3

x，AB=2x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD=BC=

3

x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，求出DE=CE=x，CP=

3

3

x，BP=

2 3

3

x，根據(jù)tan∠CEP=

PC

EC

，tan∠EBC=

CE

CB

，求出∠CEP=30°，∠EBC=30°，∠CEB=60°，即可判斷①；證出∠F=∠EBP和∠PEB=∠PEB，即可推出△EBP∽△EFB，判斷②即可；證△ECP∽△FBP和△ABP≌△FBP，即可判斷③，證出△AOB∽△BOP，得出

OB

OP

=

OA

OB

，推出OB²=AO•OP，即可判斷④．

解答：解：設(shè)AD=

3

x，AB=2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=

3

x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，
∵E為CD中點(diǎn)，
∴DE=CE=x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=

3

3

x，BP=

2 3

3

x，
∵tan∠CEP=

PC

EC

=

3 3 x

x

=

3

3

，tan∠EBC=

CE

CB

=

x

3 x

=

3

3

，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∵∠C=90°，
∴∠CEB=60°，
∴∠BEP=30°=∠CEP，
即EP平分∠CEB，∴①正確；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∵∠EBP=30°，
∴∠F=∠EBP，
∵∠PEB=∠PEB，
∴△EBP∽△EFB，∴②正確；
∵DC∥AB，
∴△ECP∽△FBP，
∴

EC

BF

=

CP

BP

=

1

2

，
∴EC=

1

2

BF，
∵E為CD中點(diǎn)，
AB=CD，
∴EC=

1

2

CD=

1

2

AB，
∴AB=BF，
在△ABP和△FBP中

AB=BF ∠ABP=∠FBP=90° BP=BP

，
∴△ABP≌△FBP，
∵△ECP∽△FBP，
∴△ABP∽△ECP，∴③正確；
∵△ABP≌△FBP，
∴∠PAB=∠F=∠CEP=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠APB=60°，
∵∠EBC=30°，
∴∠AOB=30°+60°=90°=∠POB，
∵∠PAB=∠PBO=30°，
∴△AOB∽△BOP，
∴

OB

OP

=

OA

OB

，
∴OB²=AO•OP，∴AO•AP=OB²不對，∴④錯誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難度偏大，綜合性比較強(qiáng)．