Question

如圖，△ABC中，AB=AC，點O為BC中點，OD⊥AB于D，以OD為半徑作⊙O交DO的延長線于點E，連接EC．
（1）證明：EC、AC都是⊙O的切線；
（2）若

OD

DA

=

1

2

，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析：（1）先連接AO，并過O作OF⊥AC于F，由于AB=AC，O為BC中點，易得OB=OC，∠BAO=∠CAO，結合已知條件易證△COE≌△BOD，從而有∠CEO=∠BDO=90°，即CE是⊙O的切線．又OD⊥AB，OF⊥AC，∠BAO=∠CAO，利用角平分線定理可得OD=OF，即可證AC是⊙O的切線；
（2）作CM⊥AD于M，設OD=a，DA=2a，由于∠AOB=90°，OD⊥AB，易知△BOD∽△OAD，利用比例線段可求BD，從而可求CF，進而可求AC、CM，于是易求sin∠BAC．

解答：（1）證明：連接AO，并過O作OF⊥AC于F．
∵AB=AC，O為BC中點，
∴OB=OC，∠BAO=∠CAO，
又∵OD=OE，∠COE=∠BOD，
∴△COE≌△BOD，
∴∠CEO=∠BDO=90°，
∴CE是⊙O的切線，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，∠BAO=∠CAO，
∴OD=OF，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：作CM⊥AD于M，設OD=a，DA=2a，
∵∠AOB=90°，OD⊥AB，
∴△BOD∽△OAD，
∴BD：OD=OD：DA，
∴BD=

1

2

a，
又∵AC、AB、CE是⊙O切線，
∴CF=CE=BD=

1

2

a，
∴AC=AB=2a+

1

2

a=

5

2

a，CM=DE=2OD=2a，
∴sin∠BAC=

CM

AC

=

2a

5 2 a

=

4

5

．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形三線合一定理、角平分線定理、相似三角形的判定和性質、切線的性質、正弦的計算．解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形，并求出BD．