Question

如圖所示，拋物線y=-（x-m）²的頂點為A，直線與y軸的交點為B，其中m＞0．
（1）寫出拋物線對稱軸及頂點A的坐標；（用含有m的代數式表示）
（2）證明點A在直線l上，并求∠OAB的度數；
（3）動點Q在拋物線的對稱軸上，在對稱軸左側的拋物線上是否存在點P，使以P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等？若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）對稱軸為直線x=m，頂點A（m，0）；

（2）把x=m代入函數y=x-m，
得y=m-m=0
∴點A（m，0）在直線l上．
當x=0時，y=-m
∴B（0，-m），tan∠OAB=
∴∠OAB=60°；

（3）①當∠AQP=90°，∠QAP=60°，AQ=OA=m，PQ=OB=m
，因此P點坐標為（m-m，-m），
將P點的坐標代入拋物線的解析式可得m=，
因此P點的坐標為（，-）．
②當∠AQP=90°，∠QPA=60°，此時P，B重合，
因此P點坐標為（0，-m），
代入拋物線解析式得m=，因此P點的坐標為（0，-3）．
③當∠APQ=90°，∠QAP=60°，PA=m，過P作PC⊥AQ于C，
那么PC=AP•sin60°=m，AC=m，
因此P點的坐標為（m-m，-m）．
代入拋物線得m=，因此P點的坐標為（，-）；
④當∠APQ=90°，∠AQP=60°，PA=OB=m，
過P作PD⊥AQ于D，
那么PD=AP•sin30°=m，AD=m，
因此P點的坐標為（m-m，-m），
代入拋物線得m=，
因此P點的坐標為（，-1）．
分析：（1）根據頂點式拋物線解析式即可得出拋物線的對稱軸為x=m，頂點坐標A（m，0）；
（2）將A點的坐標代入直線l的解析式中即可判定出點A是否在直線l上．
根據題意不難得出OA=m，OB=m，據此可求出∠OAB的正切值，進而可求出∠OAB的度數；
（3）本題要分四種情況進行討論：
①當∠AQP=90°，∠QAP=60°，m=3，P點的坐標為（3-3，-3）；
②當∠AQP=90°，∠QPA=60°，m=，P點的坐標為（0，-3）；
③當∠APQ=90°，∠QAP=60°，m=，P點的坐標為（，-）；
④當∠APQ=90°，∠AQP=60°，m=，因此P點的坐標為（-，-）．
點評：本題考查了二次函數的性質及全等三角形的判定等知識點，（3）在不確定全等三角形的對應角和對應邊的情況下要分類討論．