Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點(diǎn)D，且BD=8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒；同時(shí)直線PQ由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/秒，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點(diǎn)P、交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F．連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜5）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PM∥BC？
（2）設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm²，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）已知某一時(shí)刻t，有S_{四邊形PQCM}=

3

4

S_△ABC成立，請(qǐng)你求出此時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)PQCM為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊平行，進(jìn)而得到AP=AM，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；
（2）過點(diǎn)P作PE垂直AC．由PQ運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間t可知線段BP=t，根據(jù)PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知三角形BPQ也為等腰三角形，即BP=PQ=t，再由證得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代數(shù)式就可以表示出BF，進(jìn)而得到梯形的高PE=DF=8-t，又點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間可知點(diǎn)M走過的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根據(jù)梯形的面積公式即可得到y(tǒng)與t的關(guān)系式；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，先求出三角形ABC的面積，又根據(jù)S_{四邊形PQCM}=

3

4

S_△ABC，求出四邊形PQCM的面積，從而得到了y的值，代入第二問求出的y與t的解析式中求出t的值即可；

解答：解：（1）∵當(dāng)PM∥BC時(shí)，△APM∽△ABC，
∴AP=AM，
∴10-t=2t，
∴t=

10

3

（秒）

（2）∵四邊形PQCM為梯形，y=

1

2

（PQ+MC）DF，
∵PQ=PB=t，MC=10-2t，BF：BD=BP：AB
∴BF=

8×t

10

=

4

5

t，
∴DF=8-

4

5

t
∴y=

1

2

(t+10-2t)•(8-

4

5

t)=

2

5

t2-8t+40 

（3）

2

5

t2-8t+40=40×

3

4

，
解得t=10±5

3

10+5

3

不合題意舍去，
∴當(dāng)t=10-5

3

秒時(shí)，使S_{四邊形PQCM}=

3

4

S_△ABC成立

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，第二問的解題關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的高之比等于對(duì)應(yīng)邊之比得出比例，進(jìn)而求出關(guān)系式．