Question

將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），旋轉(zhuǎn)后使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得到△AB′C′，我們將這種變換記為[α，n]．
（1）如圖①，對△ABC作變換[60°，

3

]得△AB′C′，則S_△AB'C′：S_△ABC=

 

；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為

 

°；
（2）如圖②，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=

3

，對△ABC作變換[α，n]得△AB′C′，使得四邊形ABB′C′為梯形，其中AB∥B'C'，且梯形ABB'C'的面積為12

3

，求α和n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）利用新定義得出[α，n]的意義，進(jìn)而求出面積比和旋轉(zhuǎn)角；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的α度數(shù)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AB，BC的值，再利用梯形面積求出n的值．

解答：解：（1）∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），
旋轉(zhuǎn)后使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得到△AB′C′，這種變換記為[α，n]，
∴對△ABC作變換[60°，

3

]得△AB′C′，
∴S_△AB'C′：S_△ABC=（

3

）²=3；
直線BC與直線B′C′所夾的銳角為：60°，
故答案為：3，60；

（2）由題意可知：∵△AB'C'∽△ABC，
∴∠C′=∠C=90°，

AC′

AC

=

B′C′

BC

=n，
∵AB∥B'C'，∴∠BAC'=90°
∴α=90°-∠BAC=60°，
在Rt△ABC中，AB=

AC

cos30°

=2，BC=

1

2

AB=1，
∴AC′=

3

n，B′C′=n，
∴在直角梯形ABB'C'中，
S=

1

2

(AB+B′C′)AC′=

1

2

(2+n)

3

n=12

3

，
∴n=4，n=-6（舍去），
故α=60°，n=4．

點(diǎn)評：此題主要考查了幾何變換以及相似三角形的判定與性質(zhì)和新定義，得出[α，n]的意義是解題關(guān)鍵．