Question

如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（　　）

• A．3
• B．3

  3

• C．4

  3

• D．6

Answer 1

分析：在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=AB，過(guò)E作EN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短得出此時(shí)BM+MN最小，求出E和B關(guān)于AD對(duì)稱，求出BM+MN′=EN′，求出EN′，即可求出答案．

解答：解：在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=AB，過(guò)E作EN⊥AB于N′，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，則BM+MN最�。ǜ鶕�(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短），
∵AD平分∠CAB，AE=AB，
∴EO=OB，AD⊥BE，
∴AD是BE的垂直平分線（三線合一），
∴E和B關(guān)于直線AD對(duì)稱，
∴EM=BM，
即BM+MN′=EM+MN′=EN′，
∵EN′⊥AB，
∴∠ENA=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠AEN′=30°，
∵AE=AB=6，
∴AN=

1

2

AE=3，
在△AEN中，由勾股定理得：EN=

AE2-AN′2

=

62-32

=3

3

，即BM+MN的最小值是3

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，涉及到垂線的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．