Question

6．如圖，E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上的一點，且BE=BA，P是CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R．則：（1）DE=$\sqrt{2}$-1；（2）PQ+PR=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質和勾股定理得出BD=$\sqrt{2}$，進而解答即可；
（2）連接BP，過C作CM⊥BD，利用面積法求解，PQ+PR的值等于C點到BE的距離，即正方形對角線的一半．

解答 解：（1）∵邊長為1的正方形ABCD，
∴DB=$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{2}$-1；
（2）連接BP，過C作CM⊥BD，如圖所示：

∵BC=BE，
∴S_△BCE=S_△BPE+S_△BPC
=$\frac{1}{2}$BC×PQ+$\frac{1}{2}$BE×PR=$\frac{1}{2}$BC×（PQ+PR）=$\frac{1}{2}$BE×CM，
∴PQ+PR=CM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，
∴BD=$\sqrt{2}$，
∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M為BD中點，
∴CM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即PQ+PR值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$-1；$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質以及三角形面積的計算；熟練掌握正方形的性質，運用面積法求解是解決問題的關鍵．