Question

5．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（-4，4），以點A為頂點作∠MAN=45°，AM交x軸正半軸于點E（a，0），AN交y軸負半軸于點F（0，b），連結(jié)OA．
（1）求證：△OAF∽OEA；
（2）當(dāng)a=2時，求b的值；
（3）如果△AEF為等腰三角形，請求b的值．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標(biāo)特點和勾股定理得出OA=4$\sqrt{2}$，∠AOF=∠AOE=135°，由已知條件得出∠OFA=∠OAE，即可得出結(jié)論；
（2）由相似三角形的性質(zhì)得出OA：OE=OF：OA=AF：AE，求出OE•OF=OA²=32，得出OF=16，即可得出b的值；
（3）分三種情況：①當(dāng)AE=AF時，由（1）得出△OAF≌OEA，求出OA=OF，得出OF=4$\sqrt{2}$，求出b=-4$\sqrt{2}$；
②當(dāng)EA=EF時，證出∠AEO=∠EFO，作AM⊥x軸于M，則AM=4，∠AME=90°，由AAS證明△AEM≌△EFO，得出AM=OE=4，即可得出b=-4；
③當(dāng)FA=FE時，同②得出b=-4；即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵點A的坐標(biāo)為（-4，4），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，∠AOF=∠AOE=135°，
∴∠OAF+∠OFA=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠OFA=∠OAE，
∴△OAF∽OEA；
（2）解：∵△OAF∽OEA，
∴OA：OE=OF：OA=AF：AE，
∴OE•OF=OA²=32，
∵E（a，0），F(xiàn)（0，b），a=2，
∴OF=16，∴b=-16；
（3）解：分三種情況：
①當(dāng)AE=AF時，如答圖1：

由（1）得：△OAF≌OEA，
∴OF=OA，
∵AM=4，OM=4，
∴OA=4$\sqrt{2}$
∴OF=4$\sqrt{2}$，
∴b=-4$\sqrt{2}$；
②當(dāng)EA=EF時，作AM⊥x軸于M，如答圖2：

∵∠AFE=∠MAN=45°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEO=∠EFO，
則AM=4，∠AME=90°，
在△AEM和△EFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠FOE=90°}&{\;}\\{∠AEO=∠EFO}&{\;}\\{AE=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△EFO（AAS），
∴OF=EM=4+4=8，
∴b=-8；
③當(dāng)FA=FE時，作AN⊥y軸于點N，如答圖3：

∵∠AEF=∠EAF=45°，
∴∠AFE=90°，
∵∠AFN+∠OFE=90°，∠AFN+∠FAN=90°，
∴∠OFE=∠FAN，
在△ANF和△FOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANF=∠FOE=90°}\\{∠OFE=∠FAN}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△FOE．
∴OF=AN=4
∴b=-4；
綜上所述：如果△AEF為等腰三角形，b的值為-4$\sqrt{2}$，-8或-4．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．