Question

如圖，已知矩形ABCD的邊AB=1，M是邊AD上的動點，直線l過M與對角線AC垂直，垂足為E，且

AE

EC

=

1

4

．
（1）若直線l過B點，求AD的長；
（2）寫出AD的取值范圍，不必說明理由；
（3）若直線l分矩形ABCD的兩部分的面積比是1：10，設直線l與矩形的另一邊相交于H，AH=x．請用含x的代數式表示AD．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據兩角相等的兩個三角形相似，可得△ABE∽△BCE，根據形似三角形的性質，可得

AB

BC

=

AE

BE

=

BE

CE

，根據等量代換，可得答案；
（2）根據△ABE∽△BCE，可得

AB

BC

=

1

2

或

AB

BC

=

2

1

，可得答案；
（3）根據三角形相似，可得

AH

AM

=

AD

DC

，根據面積的比，可得即

1 2 AH•AM

AD

=

1

11

，根據等量代換，可得AM²，根據等比形式，可得答案．

解答：解：（1）∵∠ABE=∠BCE，∠AEB=∠BEC，
∴△ABE∽△BCE，
∴

AB

BC

=

AE

BE

=

BE

CE

∵

AE

EC

=

1

4

，
∴

AB

BC

=

1

2

∵AB=1，
∴AD=BC=2；
（2）

1

2

≤x≤2；
（3）當直線l過點B時，可分矩形梁部分的面積是

1

7

，則H必在AB上，
∵△AHM∽△DCA，
∴

AH

AM

=

AD

DC

∵CD=1，
∴

AH

AM

=AD
依題意可知，

S△AMH

S矩形ABCD

=

1

11

∴

1 2 AH•AM

AD•DC

=

1

11

，即

1 2 AH•AM

AD

=

1

11

，
∴AM 2=

2

11

，
AM=

22

11

即AD=

22

2

x．

點評：本題考查了相似綜合題，利用了相似三角形的判定與性質，利用了面積的比，得出AM的值是解題關鍵．