Question

已知點(diǎn)E、F在△ABC的邊AB所在的直線(xiàn)上，且AE=BF，F(xiàn)H∥FG∥AC，F(xiàn)H、EG分別交邊BC所在的直線(xiàn)于點(diǎn)H、G。
（1）如圖1，如果點(diǎn)E、F在邊AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如圖2，如果點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，那么線(xiàn)段EG、FH、AC的長(zhǎng)度關(guān)系是 _________ ；
（3）如圖3，如果點(diǎn)E在AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，那么線(xiàn)段EG、FH、AC的長(zhǎng)度關(guān)系是_____________。
對(duì)（1）（2）（3）三種情況的結(jié)論，請(qǐng)任選一個(gè)給予證明。

Answer 1

（1）證明：∵FH∥EG∥AC， ∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC， ∴．∴， 又∵BF=EA， ∴， ∴， ∴AC=FH+EG； （2）線(xiàn)段EG、FH、AC的長(zhǎng)度的關(guān)系為：EG+FH=AC， 證明（2）：過(guò)點(diǎn)E作EP∥BC交AC于P， ∵EG∥AC， ∴四邊形EPCG為平行四邊形， ∴EG=PC， ∵HF∥EG∥AC， ∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP， 又∵AE=BF， ∴△BHF≌△EPA， ∴HF=AP， ∴AC=PC+AP=EG+HF， 即EG+FH=AC； （3）線(xiàn)段EG、FH、AC的長(zhǎng)度的關(guān)系為：EG﹣FH=AC， 如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC交EG于P， ∵EG∥AC， ∴四邊形APGC為平行四邊形， ∴AC=PG， ∵HF∥EG∥AC， ∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE， 又∵AE=BF， ∴△BHF≌△EPA， ∴HF=EP， ∴AC=EG﹣EP=EG﹣HF， 即EG﹣FH=AC。