Question

已知：如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑ON，過點A，B的切線相交于點M，求證：△ABM是等邊三角形．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),等邊三角形的判定,垂徑定理

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線，首先證明∠MAO=∠MBO=

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∠AOB；進而求出∠AOB=120°問題即可解決．

解答：證明：如圖，連接OA，OB；
∵MA，MB是⊙O的切線，
∴∠MAO=∠MBO=

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∠AOB；
∵弦AB垂直平分半徑ON，
∴OP=

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OA，∠OPA=90°，
∴∠OAP=30°，∠AOB=2∠AOP=120°，
∴∠MAO=∠MBO=

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∠AOB=60°，
∴△ABM是等邊三角形．

點評：該命題以圓為載體，以旋切角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定等幾何知識點的考查為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷．